Y=(x+1/x+1/x^2)(x^2+x+1)помогите срочно

Поделись с друзьями

Решение:
y(x)=x?/(x-1)
1) Область определения: (- ?;1) (1;?)
2) Множество значений: (0;?)
3) Проверим является ли функция четной или нечетной:
y(х) = x?/(x-1)
y(-x)=x?/(-x-1), так как y(х) ?y(-х) и y(-х) ?-y(х), то функция не является ни четной ни не четной.
4)Найдем координаты точек пересечения с осями координат:
а) с осью ОХ: у=0, получаем: x?/(x-1) =0,
x?=0
x=0 график пересекат ось обсцисс и ординат в точке (0;0)
5) Найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции:
y'=(2x(x-1)-x?)/(x-1)?=(x?-2x)/(x-1)?; y'=0
(x?-2x)/(x-1)?=0,
x?-2x=0
x1=0
x2=2 Получили 2 стационарные точки, проверим их на экстремум:
Так как на промежутках (- ?;0) (2;?) y'>0, то на этих промежутках функция возрастает.
Так как на промежутках (0;1) (1;2) у'< 0, то на этих промежутках функция убывает.
Точка х=0 является точкой максимума у (0)=0
Точка х=2 является точкой минимума у (2)=4
6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции:
fу"=((2x-2)(x-1)?-2(x-1)(x?-2x))/(x-1)^4=2/(x-1)?; y"=0
2/(x-1)?=0, уравнение не имеет корней, следовательно точек перегиба функция не имеет.
Так как на промежутке (1;?), y"> 0, то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вниз.
Так как на промежутке (- ?;1) y"< 0 то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вверх
7) Проверим имеет ли график функции асимптоты:
а) вертикальные. Найдем односторонние пределы в точке разрыва х=1
lim (прих->1-0) (x?/(x-1))=-?
lim (прих->1+0) (x?/(x-1))=? так как пределы бесконечны то прямая х=1 является вертикальной асимптотой.
б) Найдем наклонные (горизонтальные) асимптоты вида у=kx+b
k=lim (при х->?)(y(x)/x)=lim (при х->?)( x?/(x(x-1))=1
b=lim (при х->?)(y(x)-kx)=lim (при х->?)(x?/(x-1)-x)=1
Итак прямая у=x+1 является наклонной асимптотой.
Все стройте график.